Zahlentheorie: Interview mit Mathematikprofessor Jürgen Sander

Sonntag, 05. August 2018  / Alter: 14 Tage

Aus der Forschung: Mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen befasst sich eine Arbeitsgruppe um Professor Jürgen Sander. Die Zahlentheorie sei faszinierend, da sie „Methoden aus fast allen anderen mathematischen Disziplinen verwendet und innerhalb der Mathematik extrem gut vernetzt ist“. Im Interview verrät der Hildesheimer Mathematiker, wie Forscher zu mathematischen Entdeckungen gelangen.

„Mathematik ist auch eine Geisteswissenschaft“, sagt Professor Jürgen Sander. Foto: Isa Lange/Uni Hildesheim

Prof. Dr. Jürgen Sander forscht und lehrt seit 2009 am Institut für Mathematik und Angewandte Informatik der Universität Hildesheim. Dort leitet er die Abteilung Algebra und Zahlentheorie. Seit 2013 ist Jürgen Sander auch Vizepräsident für Lehre und Studium, was seine Zeit zur Forschung merklich einschränkt.

Zu seinen Forschungsgebieten zählen seit seinem Studium die Elementare und Analytische Zahlentheorie mit Arbeiten zu diversen Fragestellungen aus diesen und verwandten Disziplinen. Einen langjährigen Schwerpunkt bildete dabei das Problem der Primfaktorisierung von Binomialkoeffizienten. In den letzten 15 Jahren hat er sich intensiv der Algebraischen Graphentheorie gewidmet, die ein Bindeglied zwischen Graphentheorie, Algebra und Zahlentheorie bildet.

Im Interview spricht Jürgen Sander über bedeutende mathematische Künstler wie den Bonner Professor Peter Scholze, der in diesem Jahr für seine tiefliegenden Einsichten in der arithmetischen Geometrie mit der Fields-Medaille, dem Nobelpreis für Mathematik, ausgezeichnet wurde. Zudem spricht Sander über seit vielen Jahrhunderten ungelöste Probleme der Zahlentheorie, über die Unterstützung des akademischen Nachwuchs und die Bedeutung von Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern.

Interview mit dem Mathematiker Prof. Dr. Jürgen Sander

Der Bonner Professor Peter Scholze wurde aktuell für herausragende Entdeckungen in der Mathematik mit der Fields-Medaille, dem „Nobelpreis für Mathematik“, ausgezeichnet. Er arbeitet in der arithmetischen Geometrie. Sie sind Zahlentheoretiker – freut es Sie, dass ein Kollege aus einer Teildisziplin der Zahlentheorie diese hohe Anerkennung erhält?

Jürgen Sander: Es freut mich insofern, als es mein langjähriges Forschungsgebiet für einen Moment in den Fokus einer interessierten Öffentlichkeit rückt – wie es in den 1980ern geschah, als Gerd Faltings nach bedeutenden Fortschritten auf dem Weg zum Beweis der Großen Fermat’schen Vermutung als erster und bislang einziger Deutscher mit der Fields-Medaille ausgezeichnet wurde, oder ein weiteres Mal um die Jahrtausendwende, als Andrew Wiles die über 300 Jahre offene Fragestellung von Fermat schließlich vollständig klären konnte.

Unerfreulich – wie häufig bei Presseberichten über herausragende mathematische Ereignisse – ist jedoch die Art der Berichterstattung über Peter Scholze. Die Hannoversche Allgemeine Zeitung titelte in einem Artikel auf der ersten Seite: „Der Superrechner“. Das ist despektierlich und vor allem völlig unangemessen. Dem Preisträger in erster Linie bemerkenswerte Rechenfähigkeiten zu attestieren wäre vergleichbar damit, den Pianisten Lang Lang als „Supertonleiternspieler“ zu loben. So wie einfache Fingerübungen selbstverständlich die Basis virtuosen Klavierspiels sind, so ist eine gewisse Rechenfähigkeit Grundlage jeglicher Beschäftigung mit Mathematik, aber Scholze hat die Fields-Medaille für seine grandiosen Einsichten in tiefliegende mathematische Zusammenhänge, die auf seinem ungewöhnlichen Ideenreichtum und bemerkenswerter Kreativität fußen, erhalten. Eine Überschrift wie etwa „Ein bedeutender mathematischer Künstler“ hätte mir gut gefallen.

Weil auch viele Nichtmathematiker dieses Interview lesen – können Sie einmal beschreiben, was Sie an der Welt der Zahlen fasziniert?

Zahlentheorie ist eine der (wenigen) mathematischen Disziplinen, in denen einfach zu formulierende, auch mathematischen Laien zugängliche Fragen schwer oder bislang gar nicht zu beantworten sind. Zwei solche Beispiele aus der Welt der Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …  sind die Goldbach-Vermutung, wonach sich jede der geraden Zahlen 6,8,10,12,14,16, …  als Summe von zwei ungeraden Primzahlen ergibt (6 = 3+3, 8 = 5+3, 10 = 5+5 =7+3, 12= 7+5, …), und die Primzahlzwillingsvermutung, gemäß der es unendlich viele Primzahlzwillinge, also Primzahlen mit Differenz 2 (wie zum Beispiel die Paare 3,5 oder 5,7 oder 11,13), gibt. Beide Probleme sind viele Jahrhunderte alt und bisher ungelöst. Weiterhin fasziniert mich an der Zahlentheorie, dass sie Methoden aus fast allen anderen mathematischen Disziplinen verwendet, also innerhalb der Mathematik extrem gut vernetzt ist. Dies belegen schon die Namen von Teildisziplinen wie algebraische Zahlentheorie, analytische Zahlentheorie oder probabilistische Zahlentheorie, Geometrie der Zahlen oder auch die arithmetische Geometrie, das Hauptforschungsgebiet von Peter Scholze.

„Mathematik erfordert eine hohe Frustrationstoleranz – das Erfolgskriterium ist ein korrekter Beweis“

Sie befassen sich in der Forschung mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen. Wie sind Sie denn zur Zahlentheorie gekommen?

Das geschah eher zufällig, oder besser gesagt aufgrund der Persönlichkeit meines ersten Zahlentheorie-Professors. Die bereits oben genannte enge Verzahnung der Zahlentheorie innerhalb der Mathematik hat dann wesentlich zu einer dauerhaften Faszination beigetragen.

Wie läuft Ihr Alltag in der Forschung als Zahlentheoretiker ab, wie gelangen Sie zu Erkenntnissen und Entdeckungen? Arbeiten Sie mit Stift und Papier, mit Berechnungen am Computer oder Beobachtungen des Alltags?

Es gibt verschiedene Arten von Entdeckungen. Einerseits existieren in der mathematischen Fachliteratur unfassbar viele offene, teilweise jahrzehnte- oder gar jahrhundertealte Fragestellungen, von denen manche aufgrund ihrer Konsequenzen von der Fachwelt als besonders wichtig erachtet werden. Meist gibt es dazu numerisches – heutzutage natürlich computerbasiertes – Datenmaterial, was gewisse Vermutungen nahelegt. Am Beweis solcher Vermutungen versuchen sich oft – und leider meist vergeblich – viele Mathematikerinnen und Mathematiker. Unter solchen Problemen finden sich auch manche, die in  Anwendungsgebieten wie zum Beispiel Physik oder Wirtschaftswissenschaften ihren Ursprung hatten. Während die Jahrtausende zurückliegenden Anfänge der Mathematik nahezu ausschließlich auf Alltagsbeobachtungen basierten, spielen solche heute eine eher geringe Rolle.

Andererseits werfen selbst erarbeitete Antworten auf mathematische Fragen in aller Regel Folgeprobleme auf, denen ich mich dann so lange widme, bis sie geklärt sind oder bis ich es leid bin – Mathematik erfordert eine hohe Frustrationstoleranz, und das Erfolgskriterium ist gnadenlos und ausschließlich ein korrekter Beweis. Es interessiert in der Regel niemanden, was man dafür alles vergeblich versucht hat.

Wie die meisten Mathematikerinnen und Mathematiker arbeite ich mit Stift und Papier, wobei das Notierte in erster Linie als Gedankenstütze für die im Kopf entstandenen Argumentationslinien dient. Exemplarische Beispielberechnungen, um den Phänomenen und Strukturen auf die Spur zu kommen, müssen wir heute nicht mehr von Hand durchführen. Die durch die Verwendung von Computern und Algebra-Systemen gesparte Zeit verbringen wir damit, uns darüber zu ärgern, dass die Rechenmaschine nicht tut was wir möchten. Im Ernst: Der seit einigen Jahrzehnten mögliche Einsatz von extrem effizienten Rechenhilfen hat die Entwicklung der Mathematik und insbesondere die mancher Gebiete wie zum Beispiel der Graphentheorie enorm beflügelt.

„Mathematik ist auch eine Geisteswissenschaft“

Unternehmen Zahlentheoretiker vor allem geistige Ausflüge? Wie greifbar sind die Phänomene, mit denen Sie sich beschäftigen?

Mathematik gilt vielen als Naturwissenschaft insofern, als sie immer schon Phänomene unserer physikalischen Welt zu beschreiben und die dahinter stehenden Gesetzmäßigkeiten zu entdecken versucht hat. Andererseits ist die wesentliche Tätigkeit von Mathematikerinnen und Mathematikern das Beweisen. Wir können aber um Beispiel die Kepler’schen Gesetze der Himmelsmechanik nicht beweisen, da wir die Axiome unseres Universums nicht kennen. Die Mathematik behilft sich damit, dass sie ihre Axiome eigenmächtig festsetzt (und hofft, dass diese die Grundprinzipien des Universums widerspiegeln, aber anderenfalls hätten die Mathematikerinnen und Mathematiker auch kein Problem!). Insofern ist Mathematik definitiv (auch) eine Geisteswissenschaft – seelenverwandt mit der Philosophie. Mein Philosophie-Professor aus Studententagen resümierte einmal: „Philosophie und Mathematik sind eng verwandt. Der Unterschied ist: Philosophie beschäftigt sich mit höchst bedeutsamen Fragen des Lebens, kann aber nichts beweisen. Die Mathematik beweist all ihre Erkenntnisse, aber niemanden interessieren die bewiesenen Aussagen.“

Ich sehe mich eher als Vertreter der geisteswissenschaftlichen Fraktion. Gleichwohl sind die Phänomene für mich greifbar, allerdings auf einem höheren Abstraktionsniveau. Unabhängig davon ist Mathematik seit Jahrtausenden extrem erfolgreich als Zulieferer für diverse andere Wissenschaften, also Hilfswissenschaft auch zum effizienten Lösen von „Alltagsproblemen“.

Die mathematische Theoriebildung sollte also nicht an der unmittelbaren Anwendbarkeit gemessen werden?

Ich halte es für unklug, Wissenschaft zu sehr anhand der kurzfristigen Anwendbarkeit und damit meist mit wirtschaftlichen Maßstäben zu messen. Dass Mathematikerinnen und Mathematiker dies können, haben sie immer wieder nachgewiesen. Ein antikes Beispiel ist Thales, dem nachgesagt wird, die Nutzlosigkeit der Philosophie, zu der nach damaliger Ansicht auch Mathematik und Astronomie zählten, folgendermaßen widerlegt zu haben:  Seine Sternenbeobachtung versprach eine reiche Olivenernte.  Noch im Winter mietete er ohne Konkurrenz für geringes Geld alle Ölpressen in Milet und Chios. Als dann  ein hoher Bedarf an Ölpressen entstand, vermietete er sie zu seinen Bedingungen und erwarb großen Reichtum. Jüngere Beispiele für zunächst „nutzlos“ erscheinende mathematische Erkenntnisse sind solche der Gruppentheorie in der Algebra oder der Primzahltheorie. Beide erwiesen sich erst nach langer Zeit als „anwendbar“, sogenannte Quantengruppen zum Beispiel als Instrument der Quantentheorie und Primzahlen als effektive Bausteine in der modernen Krytographie. Anwendbarkeit ist also ein relativer Begriff.

Der mit der Fields-Medaille ausgezeichnete Bonner Professor ist erst 30 Jahre alt. Wie erleben Sie in Hildesheim den akademischen mathematischen Nachwuchs?

Natürlich lassen sich unsere Lehramtsstudierenden für das Schulfach Mathematik an Grund-, Haupt- und Realschulen hinsichtlich ihrer fachmathematischen Fähigkeiten nicht mit einem Mathematiker messen, dessen Ausbildung ausschließlich dazu diente, ihn zumindest in einigen Gebieten an die aktuelle Forschung der Fachwissenschaft heranzuführen. Wir vom Institut für Mathematik und angewandte Informatik – und zwar unabhängig davon, ob wir stärker fachdidaktisch oder fachmathematisch sozialisiert wurden – sind uns gleichwohl darin einig, dass gutes Unterrichten von Mathematik schon ab der 1. Klasse einer Grundschule eine solide fachmathematische Grundausbildung voraussetzt, die in ihrem Verständnis (auch des Grundrechnens) erheblich mehr Tiefe aufweist, als in der Schule vermittelt werden kann. Es ist zu fragen, warum viele Schülerinnen und Schüler Mathematikunterricht als uninteressant, formelhaft und unverständlich erleben, was bei vielen Erwachsenen eine mulmige, angstbesetzte bis komplett negative Erinnerung zurücklässt. Die Persönlichkeit von Lehrkräften, die erwiesenermaßen der größte Einflussfaktor auf den Lernerfolg von Schülerinnen und Schülern ist, kann sich sicherlich nur dann vorteilhaft entfalten, wenn die Lehrperson eine große fachliche Souveränität ausstrahlt. Fraglos kommen noch viele weitere Eigenschaften und Qualitäten hinzu. Leider haben viele unserer Mathematik-Studierenden in ihrer Schulzeit selbst negative Erfahrungen mit Mathematik gemacht. Sie davon zu überzeugen, dass Mathematik interessant, kreativ und nützlich ist, ist manchmal nicht so einfach.

Was untersuchen Sie und Ihre Doktorandinnen und Doktoranden zum Beispiel aktuell in Hildesheim – welchem Problem sind Sie auf der Spur?

Meine beiden letzten Doktoranden haben 2016 bzw. 2017 mit fachmathematischen Themen promoviert, die sich auf wenigen Zeilen ohne mathematische Fachterminologie (inkl. Formeln) nicht adäquat darstellen lassen (siehe das Interview mit dem Zahlentheoretiker Jan-Hendrik de Wiljes). Vor wenigen Wochen hat meine aktuelle Doktorandin Melissa Windler eine Dissertation beim Fachbereich 4 eingereicht, die der Frage nachgeht, ob andere als die aktuell gemäß niedersächsischem Kerncurriculum an Grundschulen vermittelte Mathematik (konkret: Graphentheorie) vielleicht besser geeignet sein könnte, Kindern mathematisches Denken – und nicht nur Rechnen – zu vermitteln und ihre diesbezügliche Motivation zu erhalten oder gar zu erhöhen. Der Fragestellung entsprechend hat die Arbeit starke Bezüge zur pädagogischen Psychologie unter Verwendung quantitativ empirischer Methoden, was für einen „reinen“ Mathematiker, der im Grunde nur eine Methode (Beweisen!) kennt, durchaus eine Herausforderung darstellt. Nach meiner Einschätzung ist allgemein die Frage, ob diejenigen mathematischen Gebiete, die in unterschiedlichen Klassenstufen oder auch zu Beginn eines jeden Mathematikstudiums traditionell im Vordergrund stehen, tatsächlich jeweils die geeignetsten zum Lernen mathematischer Denk- und Arbeitsweisen sind.

Ich weiß nicht, wie leicht es die Fachdisziplin Mathematik hat – aber die Konkurrenz in den Anwendungsbereichen ist groß. Wie unterstützen Sie junge Mathematikerinnen und Mathematiker, damit diese am Ball bleiben und der Mathematik nicht eines Tages den Rücken kehren?

In Zeiten, in denen ein immer höherer Prozentanteil an Schulabsolventinnen und Schulabsolventen wie auch Berufstätigen an die Hochschulen strömt, können bei weitem nicht alle als Forscherinnen oder Forscher tätig bleiben. Es ist richtig, dass heute Universitäten weniger „Bildungstempel“ und deutlich mehr Wirtschaftsunternehmen als früher sind. Das hängt mit einer ständigen Steigerung der Qualifikationsansprüche an Arbeitskräfte in allen Berufsfeldern und somit einer Akademisierung vieler ehemaliger Lehrberufe zusammen. Unter diesem Gesichtspunkt sehe ich Anwendungsbereiche in keinster Weise als Konkurrenz zur Mathematik, sondern als Tätigkeitsfelder, in denen systematisches Denken und Analysieren helfen, die dort auftretenden Herausforderungen zu meistern. Dies bedeutet also keineswegs eine Abkehr von der Mathematik. Es ist für mich auch überhaupt nicht verwunderlich, dass Mathematikerinnen und Mathematiker in fast allen Berufsfeldern begehrte Arbeitskräfte sind, ein Blick in die Bildungslebensläufe der Vorstände führender DAX-Unternehmen wird vielleicht manche(n) überraschen.

„Mathematikerinnen und Mathematiker sollten sich an der Diskussion über guten Unterricht aus fachlicher Perspektive beteiligen“

Das Institut für Mathematik und Angewandte Informatik bildet Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrer für Grund-, Haupt- und Realschulen aus. Welche Bedeutung hat für Sie als Mathematiker die Lehrerausbildung?

Die Zeiten, in denen die (Gymnasial-)Lehrerbildung an vielen – insbesondere technischen – Universitäten als lästige Pflicht betrachtet wurde, liegt in Deutschland noch nicht lange zurück. Unter zahlreichen meiner Kolleginnen und Kollegen aus der Mathematik war die Klage über die ständig sinkenden mathematischen Kompetenzen von Erstsemestern laut, aber mein Einwand, dass wir Fachmathematikerinnen und Fachmathematiker uns dann vielleicht stärker um die zukünftigen Lehrkräfte kümmern sollten, verhallte meist wirkungslos. Die traditionell außerordentlich hohen Abbrecherquoten wurden wie eine Naturkonstante hingenommen.

Ich habe stets versucht, an den Universitäten, an denen ich gearbeitet habe, auch spezielle Vorlesungen für Lehramtsstudierende anzubieten – und dies aus reinem Egoismus in der Hoffnung auf bessere Lehrkräfte und letztlich bessere Mathematikstudierende. Meine Aufforderung an meine Fachkolleginnen und Fachkollegen, das Feld der Schulmathematik nicht allein der Didaktik zu überlassen, sondern sich an der Diskussion über guten Unterricht auch aus fachlicher Perspektive zu beteiligen, war nur in Einzelfällen erfolgreich.

Inzwischen sind wir auf einem besseren Weg, viele Didaktikerinnen und Didaktiker teilen mittlerweile die Einschätzung, dass solide fachmathematische Basiskenntnisse einer gewissen Breite und hinreichenden Tiefe die Voraussetzung für guten Mathematikunterricht sind. Erst damit ist es möglich, sich sinnvoll Gedanken über Lehren und Lernen zu machen, was angesichts der jüngeren vielfältigen Entwicklungen der Bildungswissenschaften wie der Kognitionswissenschaften enorme zusätzliche Qualifizierung erfordert.

Kurz gesagt: Lehrer ist der wichtigste Beruf einer Gesellschaft.  Na gut, Ärztinnen und Ärzte finde ich manchmal auch ganz nützlich.

Die Fragen stellte Isa Lange.

Von: Pressestelle, Isa Lange

„Mathematik ist auch eine Geisteswissenschaft“, sagt Professor Jürgen Sander. Foto: Isa Lange/Uni Hildesheim