Forschung

• Non-Gaussian limit theorems
• Branching processes, in particular Multitype Branching Random Walks
• Extreme value theory, in particular for time series
• Heavy-tailed random variables
• Conditional limit theorems

DFG-Projekt: "Nichtlineare stochastische Fixpunktgleichungen mit Anwendungen in der Statistischen Mechanik" (seit 2017)

In zahlreichen stochastischen Modellen treten in der Beschreibung wichtiger Kenngrößen Zufallsvariablen auf, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung nur implizit, als Lösung sogenannter stochastischer Fixpunktgleichungen, gegeben ist. Während lineare stochastische Fixpunktgleichungen bereits intensiv studiert wurden, gibt es noch keine Theorie für nichtlineare stochastische Fixpunktgleichungen. Diese spielen jedoch eine zentrale Rolle in verschiedenen, sehr aktiven Bereichen der statistischen Physik.Ziel meines Projektes ist es, ausgehend von konkreten Beispielen, nichtlineare stochastische Fixpunktgeichungen zu untersuchen. Relevante Fragestellungen sind hierbei Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen und deren Eigenschaften, wie Glattheit oder Tailverhalten. Die gewonnenen Ergebnisse werden unter anderem der vereinfachten Berechnung von kritischen Parametern in Spin-Modellen dienen sowie neue Erkenntnisse über Gleichgewichtszustände idealer Gase liefern.

DFG-Projekt: "Produkte von Zufallsmatrizen, nichtkommutative Verzweigende Irrfahrten und Multityp-Verzweigende Irrfahrten in zufälligen Umgebungen" (seit 2021)

Produkte von Zufallsmatrizen, d.h. Produkte unabhängiger, identisch verteilter Matrizen mit zufälligen reellwertigen Einträgen (und fester Dimension), treten als fundamentale Objekte bei der Analyse einer Vielzahl stochastischer Modelle auf und sind das grundlegende Beispiel für multiplikative Irrfahrten auf nichtkommutativen (Halb-)Gruppen.Dieses Projekt verfolgt zwei Ziele, die wechselseitige Befruchtung von Grundlagenforschung und Anwendung. Zum einen sollen neu gewonnene Erkenntnisse über Produkte von Zufallsmatrizen zum Studium von Modellen der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie genutzt werden. Betrachtet werden sollen insbesondere mehrdimensionale und Multityp-Verzweigungsprozesse, mit einem besonderen Schwerpunkt auf dem Extremwertverhalten.Zum anderen wird das Studium dieser und weiterer Modelle, z.B. multivariater Finanzzeitreihen und deep learning-Algorithmen, der Identifizierung und anschließenden Bearbeitung zentraler Forschungsfragen in der zugrundeliegenden Theorie von Produkten von Zufallsmatrizen dienen.

DFG-Projekt: “Multivariate glättende Gleichungen mit Koeffizienten aus der Gruppe der invertierbaren Matrizen” (seit 2025)

Gegenstand des Antrags sind glättende Gleichungen für Zufallsvektoren. Dabei löst ein Zufallsvektor eine glättende Gleichung, wenn er genauso verteilt ist wie eine gewichtete Summe unabhängiger Kopien von sich selbst plus eine zufällige Verschiebung. Die Gewichte wiederum dürfen selbst Zufallsmatrizen sein. Verschiedene Grenzwerte (im Sinne der Konvergenz in Verteilung) von Größen, die in Modellen der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie oder der statistischen Physik von Interesse sind, sind Lösungen solcher glättender Gleichungen mit Gewichten aus der Gruppe der invertierbaren Matrizen. Ziel des Projekts ist es, die Menge der Lösungen zu charakterisieren und Eigenschaften der Lösungen zu bestimmen wie z. B. die Geometrie des Trägers, die Existenz von Dichten, das asymptotische Verhalten dieser Dichten im Unendlichen und ihre Glattheit, sofern sie existieren, und das asymptotische Verhalten der Flankenwahrscheinlichkeiten der Lösungen. Die Methoden stammen aus den Bereichen Verzweigungsprozesse, Choquet-Deny-Theorie, Fourier-Transformation, Funktionalgleichungen in der Wahrscheinlichkeitstheorie, unendlich teilbare Verteilungen, Martingaltheorie, Markovketten mit stetigem Zustandsraum, Markov-Erneuerungstheorie, (Poisson-)Punktprozesse, Produkte von Zufallsmatrizen, Random-Walks und Random-Walks bedingt darauf, nichtnegativ zu sein, sowie Random-Walks auf nichtkommutativen Gruppen.

1. Asymptotic Independence ex machina? Extreme Value Theory for the Diagonal SRE Model
   joint work with Olivier Wintenberger
   Journal of Time Series Analysis (2021) jtsa.12637 jtsa
2. Absolute Continuity of Complex Martingales and of Solutions to Complex Smoothing Equations
   joint work with Ewa Damek
   Electronic Communications in Probability 23(60), 1-12 (2018). arxiv ecp
3. Large excursions and conditioned laws for recursive sequences generated by random matrices
   joint work with Jeffrey Collamore
   Ann. Probab. 46, 2064-2120 (2018)  arxiv
4. Precise Tail Asymptotics for Attracting Fixed Points of Multivariate Smoothing Transformations
   joint work with Dariusz Buraczewski
   Markov Processes Relat. Fields 23, 147-170 (2017) arxiv
5. Solutions to Complex Smoothing Equations
   joint work with Matthias Meiners
   Probab. Theory Relat. Fields, 168(1-2), 199-268 (2017) springerlink arxiv
6. Fixed Points of the Multivariate Smoothing Transform: The Critical Case
   joint work with Konrad Kolesko
   Electronic Journal of Probability 20(52), 1-24 (2015) arxiv ejpecp
7. Precise Large Deviation Results for Products of Random Matrices
   joint work with Dariusz Buraczewski
   Annales de l'Institut Henri Poincare Probab. Statist. 52(3), 1474-1513 (2016). arxiv projecteuclid
8. Fixed Points of the Multivariate Smoothing Transform
   Probab. Theory Rel. Fields 164(1), 401-458 (2016) arxiv springerlink
9. On Multidimensional Mandelbrot Cascades
   joint work with Dariusz Buraczewski, Ewa Damek and Yves Guivarc'h
   J. Diff. Equation Appl. 20(11), 1523-1567 (2014) arxiv tandfonline
10. On Kesten's Multivariate Choquet-Deny Lemma
    Electronic Communications in Probability 18(65), 1-7 (2013) arxiv ejpecp
11. Heavy tailed solutions of multivariate smoothing transforms
    joint work with Dariusz Buraczewski, Ewa Damek and Mariusz Mirek
    Stochastic Processes and their Applications 123(6), 1947-1986 (2013) arxiv sciencedirect
12. Precise tail index of fixed points of the two-sided smoothing transform
    joint work with Gerold Alsmeyer and Ewa Damek
    Random Matrices and Iterated Random Functions. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Vol. 53 arxiv springerlink
13. Convergence to stable laws for multidimensional stochastic recursions: the case of regular matrices
    joint work with Ewa Damek, Mariusz Mirek and Jacek Zienkiewicz
    Potential Analysis 38(3), 683-697 (2013) arxiv springerlink
14. Tail behavior of stationary solutions of random difference equations: the case of regular matrices
    joint work with Gerold Alsmeyer
    J. Diff. Equation Appl. 18(8), 1305-1332 (2012) arxiv tandfonline