In zahlreichen stochastischen Modellen treten in der Beschreibung wichtiger Kenngrößen Zufallsvariablen auf, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung nur implizit, als Lösung sogenannter stochastischer Fixpunktgleichungen, gegeben ist. Während lineare stochastische Fixpunktgleichungen bereits intensiv studiert wurden, gibt es noch keine Theorie für nichtlineare stochastische Fixpunktgleichungen. Diese spielen jedoch eine zentrale Rolle in verschiedenen, sehr aktiven Bereichen der statistischen Physik.Ziel meines Projektes ist es, ausgehend von konkreten Beispielen, nichtlineare stochastische Fixpunktgeichungen zu untersuchen. Relevante Fragestellungen sind hierbei Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen und deren Eigenschaften, wie Glattheit oder Tailverhalten. Die gewonnenen Ergebnisse werden unter anderem der vereinfachten Berechnung von kritischen Parametern in Spin-Modellen dienen sowie neue Erkenntnisse über Gleichgewichtszustände idealer Gase liefern.
Produkte von Zufallsmatrizen, d.h. Produkte unabhängiger, identisch verteilter Matrizen mit zufälligen reellwertigen Einträgen (und fester Dimension), treten als fundamentale Objekte bei der Analyse einer Vielzahl stochastischer Modelle auf und sind das grundlegende Beispiel für multiplikative Irrfahrten auf nichtkommutativen (Halb-)Gruppen.Dieses Projekt verfolgt zwei Ziele, die wechselseitige Befruchtung von Grundlagenforschung und Anwendung. Zum einen sollen neu gewonnene Erkenntnisse über Produkte von Zufallsmatrizen zum Studium von Modellen der angewandten Wahrscheinlichkeitstheorie genutzt werden. Betrachtet werden sollen insbesondere mehrdimensionale und Multityp-Verzweigungsprozesse, mit einem besonderen Schwerpunkt auf dem Extremwertverhalten.Zum anderen wird das Studium dieser und weiterer Modelle, z.B. multivariater Finanzzeitreihen und deep learning-Algorithmen, der Identifizierung und anschließenden Bearbeitung zentraler Forschungsfragen in der zugrundeliegenden Theorie von Produkten von Zufallsmatrizen dienen.