Forschungsschwerpunkte

 

Forschungsschwerpunkte: Diskrete Mathematik und Stochastik

 

Die Stochastik beschäftigt sich mit der Modellierung und Untersuchung zufallsbehafteter Situationen. Der Zufall kann dabei dadurch zustande kommen, dass der Ausgang einer Situation prinzipiell nicht vorhersagbar ist, aber auch dadurch, dass nur nicht genügend Informationen vorliegen, um den Ausgang vorherzusagen. Beide Arten des Zufalls spielen in vielen Situationen des täglichen Lebens und Problemstellungen unterschiedlichster wissenschaftlicher Disziplinen eine große Rolle.

Wir beschäftigen uns hauptsächlich mit stochastischen Modellen, die auch eine gewisse räumliche Komponente aufweisen. Typische Anwendungssituationen hierfür sind Fragestellungen der statistischen Physik und der Biologie. Im Folgenden sind einige unserer aktuellen Forschungsthemen beschrieben.

  • Zufällige Permutationen. Bose-Einstein-Kondensation ist ein quantenphysikalisches Phänomen, das bei bestimmten Teilchensystemen bei niedriger Temperatur auftritt. Ein gewisses stochastisches Modell dieses Phänomens lässt sich als zufällige Permutation der Teilchenpositionen auffassen, wobei entsprechende Wahrscheinlichkeiten von den Abständen zwischen den Teilchen abhängen. Im Vordergrund steht neben der Konstruktion des Modells mittels Gibbsmaßen die Untersuchung der Zykelstruktur der zufälligen Permutation.

  • Perkolation: In einem einfachen Modell für die Porosität eines Steins legt man ein Gittermodell zugrunde und erklärt die einzelnen Kanten unabhängig voneinander zufällig für durchlässig oder undurchlässig. Betrachtet man zwei feste Punkte, kann man sich dann fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass Flüssigkeit vom einen bis zum anderen Punkt durchdringen kann. Ein interessantes Problem hierbei ist es zum Beispiel, zu untersuchen, wie diese Wahrscheinlichkeit vom Abstand der beiden Punkte abhängt.

  • Vertauschungsprozess: Man betrachtet hier eine gewisse Zahl von Objekten, die sich durchmischen, indem jeweils zwei ihre Plätze vertauschen. Die jeweilige Rate der Vertauschungen hängt von den Positionen der Objekte ab. Eine wichtige Fragestellung ist hier, wie lange es dauert, bis sich die Objekte hinreichend gut durchmischt haben. Den Rahmen für diese Untersuchungen bilden Markov-Ketten in stetiger Zeit.

  • Kristallisation: Phasenübergänge beschreiben Situationen, bei denen eine kleine Veränderung eines Parameters eine deutliche Veränderung der Gesamtsituation bewirken. Typisches Beispiel ist die Kristallisation, bei der eine kleine Temperaturveränderung den Unterschied zwischen einem Feststoff und einer Flüssigkeit ausmacht. Ziel des Forschungsprojektes ist es, diesen Effekt auf mikroskopischer Ebene zu verstehen, das heißt auf der Ebene von Einzelteilchen und deren Wechselwirkungen.

 

Zur Homepage der Arbeitsgruppe